Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CD đồng quy tại O
a) Chứng minh rằng \(BH=AC\)
b) Cho biết \(BC=\alpha\). Tính AB, AC theo \(\alpha\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CD đồng quy tại O. Biết BC = \(\alpha\), tính AB, AC theo \(\alpha\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CD đồng quy tại O. Biết BC =aα, tính AB, AC theo a
Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC có 3 cát tuyến AH,BM,CD đồng quy: \(\frac{MA}{MC}.\frac{HC}{HB}.\frac{DB}{DA}=1\Rightarrow\frac{HC}{HB}=\frac{AD}{BD}\)
(Vì M trung điểm AC nên \(\frac{MA}{MC}=1\))
(Định lí Ceva này bạn có thể lên google search để nắm rõ, Định lí này chỉ học sinh trong đội tuyển mới học thoi)
Vì CD là phân giác \(\widehat{BCA}\)nên \(\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{HB}=\frac{BC-HB}{HB}=\frac{BC}{HB}-1\)
\(\Rightarrow AC=\frac{BC^2}{HB}-BC=\frac{AB^2+AC^2}{HB}-BC=\frac{HB.BC+AC^2}{HB}-BC=\frac{AC^2}{HB}\Rightarrow AC=HB\)
( Chỗ này áp dụng định lí Pythagoras: BC2 = AB2+AC2 và Hệ thức lượng tam giác vuông AB2=HB.BC)
Có \(\hept{\begin{cases}AB^2=HB.BC\\BC^2=AB^2+AC^2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB^2=aAC\\AB^2=a^2-AC^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB=\sqrt{aAC}\\AC^2+aAC-a=0\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AC=\frac{-a+\sqrt{a^2+4a}}{2}=\frac{2a}{a+\sqrt{a^2+4a}}\\AB=\sqrt{aAC}=\sqrt{\frac{2a^2}{a+\sqrt{a^2+4a}}}\end{cases}}\)
tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD đồng quy tại O. CM: BC/AC=BH/CH
giúp mình với nha mn
a) BD.\(\sqrt{CH}+CE\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}\)
\(\Leftrightarrow BD\sqrt{CH.BC}+CE\sqrt{BH.BC}=AH.BC=AB.AC\)
\(\Leftrightarrow BD\sqrt{AC^2}+CE\sqrt{AB^2}=AB.AC\Leftrightarrow\dfrac{BD}{AB}+\dfrac{CE}{AC}=1\) (đẳng thức đúng)
Áp dụng định lí Ta- lét ta có:
\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{BH}{BC};\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{CH}{BC}\)
\(\dfrac{BD}{AB}+\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{BH+CH}{BC}=\dfrac{BC}{BC}=1\)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt đường thẳng BC tại D. Chứng minh rằng: a) AB là tia phân giác của góc DAH. b) BH×CD=BD×CH
a: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MB=MC
Ta có: MA=MB
=>ΔMAB cân tại M
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)
Ta có: \(\widehat{DAB}+\widehat{MAB}=\widehat{DAM}=90^0\)
\(\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)(ΔHAB vuông tại H)
mà \(\widehat{MAB}=\widehat{HBA}\)(cmt)
nên \(\widehat{DAB}=\widehat{HAB}\)
=>AB là phân giác của góc DAH
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CD cắt nhau tại O
a, Nếu BH = 9cm, HC = 4cm. Tính AH
b,Nếu BH = \(3\sqrt{2},HC=9\sqrt{2}\). Tính AB, AC
c, Chứng tỏ BH = AC
a;b dễ chắc tự làm đc
c, lấy K sao cho M là trđ của OK
mà có M là trđ của AC (gt)
=> COAK là hình bình hành (dh)
=> CK // OA hay CK // OH và AK // CO hay AK // OD
xét tg KCB có CK // OH => \(\frac{BH}{HC}=\frac{BO}{OK}\) (talet)
xét tg KAB có AK / OD => \(\frac{BO}{OK}=\frac{BD}{DA}\) (talet)
=> \(\frac{BH}{HC}=\frac{BD}{AD}\) mà có \(\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}\) do CD là pg của tg ABC (gt)
=> \(\frac{BC}{AC}=\frac{HB}{HC}\Rightarrow BC\cdot HC=HB\cdot AC\)
mà có \(BC\cdot HC=AC^2\) do tg ABC v tại A và AH _|_ BC (gt)
=> AC^2 = HB*AC
=> AC = HB (chia 2 vế cho ac vì ac > 0)
Theo định lý Ce-va ta có: \(\frac{BH}{HC}.\frac{MC}{MA}.\frac{DA}{DB}=1\)
Mà MA = MC (do BM là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC) nên \(\frac{BH}{HC}.\frac{DA}{DB}=1\)(1)
CD là phân giác nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{DA}{DB}=\frac{AC}{BC}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BH}{HC}.\frac{AC}{BC}=1\Rightarrow BH.AC=HC.BC\)(3)
Dễ thấy \(\Delta ABC~\Delta HAC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{HC}{AC}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC^2=BH.HC\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AC^2=BH.AC\Rightarrow BH=AC\left(đpcm\right)\)
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD đồng quy tại O. Tính tỉ lệ AB/AC.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. O là giao của AC và BD. M là điểm bất kì nằm trên tia đối của tia CB. AM cắt CD tại E. OM cắt BE tại I. Chứng minh rằng ∠OIB=45 độ.
Bài 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Gọi I là trung điểm AH. Chứng minh rằng ∠BIE=∠CIF=90 độ.
Cho tam giác ABC vuông tại A ,biết đường cao AH,đường trung tuyến BM,đường phân giác CD đồng quy.Tính tỉ số AB/AC
Cho tam giác ABC vuông tại A ,biết đường cao AH,đường trung tuyến BM,đường phân giác CD đồng quy.Tính tỉ số AB/AC
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), BD là đường phân giác. Vẽ DE ⊥ BC tại E
a) Cho biết AB=9 cm, AC = 12cm, Tính BCb
b) Chứng minh tam giác DAE cân
c) Chứng minh rằng DA < DC
d) Vẽ CF vuông góc với BD tại F. Chứng minh rằng các đường thẳng AB, DE, CF đồng quy
Bài 2:
cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC ) , BM là đường trung tuyến của tam giác ABC .
Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD=MB
a) cho biết AC = 8cm , BC = 10cm . Tính AB
b) Chứng minh : AB = CD , AC vuông góc CD
c) Chứng minh : AB + BC > 2BM
d) chứng minh : góc CBM < góc ABM